Um sociólogo deseja estimar a renda anual média per capita, em uma certa cidade. Nenhum cadastro de adultos residentes está disponível. A cidade está dividida em quadras retangulares, exceto em duas áreas industriais e em três parques, com poucas casas. O sociólogo decide que cada quadra será um conglomerado, as duas áreas industriais formarão um outro conglomerado e os três parques mais um outro conglomerado. Os conglomerados são numerados de 1 a 415 sobre um mapa da cidade. Há tempo e verba suficiente para pesquisar 25 conglomerados e visitar todas as residências dentro de cada conglomerado da amostra. Com uma tabela de números aleatórios são selecionados 25 conglomerados identificados no mapa, usando AASc. Entrevistadores são enviados para os conglomerados selecionados e os dados sobre renda são apresentados na tabela a seguir:
| Conglomerado Amostrado | \(n_{\alpha}\) | \(T_{\alpha}\) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 96000 |
| 2 | 12 | 121000 |
| 3 | 4 | 42000 |
| 4 | 5 | 65000 |
| 5 | 6 | 52000 |
| 6 | 6 | 40000 |
| 7 | 7 | 75000 |
| 8 | 5 | 65000 |
| 9 | 8 | 45000 |
| 10 | 3 | 50000 |
| 11 | 2 | 85000 |
| 12 | 6 | 43000 |
| 13 | 5 | 54000 |
| 14 | 10 | 49000 |
| 15 | 9 | 53000 |
| 16 | 3 | 50000 |
| 17 | 6 | 32000 |
| 18 | 5 | 22000 |
| 19 | 5 | 45000 |
| 20 | 4 | 37000 |
| 21 | 6 | 51000 |
| 22 | 8 | 30000 |
| 23 | 7 | 39000 |
| 24 | 3 | 47000 |
| 25 | 8 | 41000 |
\(n_{\alpha}\): número de residentes no conglomerado \(\alpha\).
\(T_{\alpha}\): renda total do conglomerado \(\alpha\).
Cálculos disponíveis: \(\sum_{\alpha=1}^{25}n_{\alpha}=151\), \(\sum_{\alpha=1}^{25}T_{\alpha}=1.329\times 10^{6}\), \(\sum_{\alpha=1}^{25}n_{\alpha}^2=1047\), \(\sum_{\alpha=1}^{25}T_{\alpha}^2=8.2039\times 10^{10}\), \(\sum_{\alpha=1}^{25}T_{\alpha}n_{\alpha}=8.403\times 10^{6}\)
Use esses dados para estimar a renda média per capita da cidade e construir um intervalo de 95% de confiança.