Para estimar o número médio de árvores por acre em uma plantação com 1000-acres, o investigador usa uma \(AAS_s\) de 10 áreas com 1 acre cada e conta o número de árvores (\(y\)) em cada área. O investigador também tem fotos aéreas da plantação, a partir das quais ela pode obter o número de árvores aproximado (\(x\)) por acre para a plantação toda. Portanto, o investigador sabe que \(\mu_x=19.7\). Como as duas variáveis, \(x\) e \(y\), são aproximadamente proporcionais e, além disso, se uma variável é 0 a outra também será, o investigador deseja usar estimadores do tipo razão. A seguir estão os dados coletados, \(x\) e \(y\) e o cálculo da variável: \(y-rx\), onde \(r\) é a estimativa de \(R=\mu_y/\mu_x\).
| Area | y | x | y-rx |
|---|---|---|---|
| 1 | 22 | 23 | -1.9951923 |
| 2 | 16 | 14 | 1.3942308 |
| 3 | 21 | 20 | 0.1346154 |
| 4 | 28 | 25 | 1.9182692 |
| 5 | 12 | 12 | -0.5192308 |
| 6 | 17 | 18 | -1.7788462 |
| 7 | 28 | 30 | -3.2980769 |
| 8 | 30 | 27 | 1.8317308 |
| 9 | 9 | 8 | 0.6538462 |
| 10 | 34 | 31 | 1.6586538 |
Para facilitar os cálculos, você pode usar a seguinte informação:
| y | x | y-rx | |
|---|---|---|---|
| media | 21.70 | 20.80 | 0.00 |
| variancia | 67.79 | 60.62 | 3.39 |
Estime o número médio de árvores por acre na plantação usando a média amostral. Estime a variância da estimativa.
Estime o número médio de árvores por acre na plantação usando estimador do tipo razão. Estime a variância da estimativa.
Estime o número total de árvores na plantação usando estimador do tipo razão. Estime a variância da estimativa.
Encontre o tamanho amostral necessário para que a diferença entre o número médio de árvores por acre na população e a respectiva estimativa usando o estimador de razão não exceda 1 com 95% de confiança. Para os cálculos, assuma por um instante que \(S_R^2=s_R^2\). Atente-se para o fato de que o plano amostral é \(AAS_s\).
Um fazendeiro fez uma avaliação grosseira da produção \(x_i\), em kg, de cada um de seus \(N=210\) pessegueiros. A peso total foi \(5800\) kg segundo a avaliação grosseira do fazendeiro. Tomou-se uma \(AAS_s\) de 10 pessegueiros, colheram-se os pêssegos e pesou-se a produção \(y_i\). Os resultados estão abaixo. Para facilitar os cálculos, os resultados da variável \(y-rx\) estão incluídos.
| Pessegueiro | y | x | y-rx |
|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 30 | 1.7832168 |
| 2 | 21 | 24 | -1.5734266 |
| 3 | 25 | 26 | 0.5454545 |
| 4 | 29 | 30 | 0.7832168 |
| 5 | 34 | 34 | 2.0209790 |
| 6 | 22 | 24 | -0.5734266 |
| 7 | 19 | 22 | -1.6923077 |
| 8 | 28 | 29 | 0.7237762 |
| 9 | 35 | 38 | -0.7412587 |
| 10 | 26 | 29 | -1.2762238 |
\[\sum_{i=1}^nx_i=286\]
\[\sum_{i=1}^ny_i=269\]
\[\sum_{i=1}^nx_iy_i= 7922\]
\[\sum_{i=1}^nx_i^2= 8394\]
\[\sum_{i=1}^ny_i^2= 7493\]
\[\hat{\rho}(x,y)=0.9740512\]
| y | x | y-rx | |
|---|---|---|---|
| media | 26.90 | 28.60 | 0.00 |
| variancia | 28.54 | 23.82 | 1.84 |
Estime o total da produção usando \(N\bar{y}\). Estime a variância da estimativa.
Estime o total da produção usando estimador do tipo razão. Estime a variância da estimativa.
Estime o total da produção usando estimador do tipo regressão. Estime a variância da estimativa.
Fonte: Baseado no Exercício 6.3 do livro Elementos de Amostragem - Bolfarine & Bussab.