Exercício 1

Deseja-se estimar o número total de peixes capturados, em um dado dia, ao longo de um rio no qual os peixes são capturados através de redes fixas. Existem \(N = 4\) locais com redes fixas ao longo do rio. O número de redes, \(X_i\) , em cada um dos locais é facilmente observável (helicóptero). No entanto, o número de peixes \(Y_i\) capturados em cada um dos locais só pode ser obtido através de uma visita no local. Uma \(AAS_s\) com \(n = 2\) foi obtida e o estimador de razão foi empregado para estimar o total de peixes capturados.

A tabela a seguir apresenta os dados para toda a população:

Local - \(i\) Total de redes - \(X_i\) Total de peixes - \(Y_i\)
1 4 190
2 9 450
3 6 304
4 4 206

  1. Liste todas as amostras possíveis.

  2. Calcule a esperança do estimador de razão.

  3. Calcule o EQM do estimador de razão.

  4. Calcule a esperança do estimador \(\hat{\tau}=N\bar{y}\) (capítulo 3).

  5. Calcule o EQM do estimador \(\hat{\tau}=N\bar{y}\).

  6. Discuta as vantagens e desvantagens de cada estimador.

Exercício 2

Considere a população \(\mathcal{U}\):

Y X
9 1
42 4
53 5

Queremos estimar \(R = \mu_Y /\mu_X\) . Considere os estimadores:

\[\hat{R}_1=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}\,,\]

\[\hat{R}_2=\frac{\bar{y}}{\mu_x}\,,\]

\[\hat{R}_3=\frac{1}{n}\sum_{i\in \mathbf{s}} \frac{Y_i}{X_i}\,.\]

Considere um plano \(AAS\) com \(n=2\) (especifique qual você irá usar: com ou sem reposição) e responda às perguntas a seguir.

  1. Encontre a distribuição de \(\hat{R}_1\).

  2. Encontre a esperança de \(\hat{R}_1\).

  3. Encontre a variância de \(\hat{R}_1\).

  4. Encontre o EQM de \(\hat{R}_1\).

  5. Encontre a distribuição de \(\hat{R}_2\).

  6. Encontre a esperança de \(\hat{R}_2\).

  7. Encontre a variância de \(\hat{R}_2\).

  8. Encontre o EQM de \(\hat{R}_2\).

  9. Encontre a distribuição de \(\hat{R}_3\).

  10. Encontre a esperança de \(\hat{R}_3\).

  11. Encontre a variância de \(\hat{R}_3\).

  12. Encontre o EQM de \(\hat{R}_3\).

  13. Qual dos estimadores você prefere? Discuta em termos de EQM e praticidade real de uso.

Fonte: Exercício 5.1 do livro Elementos de Amostragem - Bolfarine & Bussab.