Na última aula, trabalhamos com o conjunto de dados refere às notas do Moodle e da Prova P1 de 453 alunos matriculados em ME414 no 2S2015.

Hoje, focaremos nas observações referentes a 116 alunos que obtiveram, no máximo, 6.25 pontos nas atividades do Moodle.

Nosso objetivo é inferir a respeito da associação das notas (absolutas) das atividades disponibilizadas no Moodle com aquelas da Prova P1.

• Coeficiente de correlação
  • Quantidade no intervalo \((-1, 1)\);
  • Mede a força da associação linear em função da dispersão dos dados;
• Modelo de regressão linear simples
  • Estima a forma \(Y = \hat{\alpha} + \hat{\beta}X\);
  • O modelo é linear nos parâmetros

• Denotamos a correlação por \(R\);
• \(R = -1\), associação linear negativa entre X e Y;
• \(R = 0\), ausência de associação linear entre X e Y;
• \(R = +1\), associação linear positiva entre X e Y;

Hipóteses:

• Duas variáveis contínuas: \(X\) e \(Y\);
• \(n\) pares de observações: (\(X_i, Y_i\));

\[ \begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}^2 S_{YY}^2}} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}S_{YY}} \end{aligned} \]

Notem que \(S_{XX}^2\) e \(S_{YY}^2\) são as somas de quadrados de \(X\) e \(Y\) corrigida por suas respectivas médias.

\[ \begin{aligned} S_{XY} & = 157.99 \\ S_{XX} & = 18.45 \\ S_{XY} & = 26.41 \\ R & = 0.3243 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \bar{X})}{s_X} \frac{(Y_i - \bar{Y})}{s_Y} \end{aligned} \]

Notem que \(s_X\) e \(s_Y\) representam os desvios-padrão amostrais de \(X\) e \(Y\), respectivamente.

\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \bar{X})}{s_X} \frac{(Y_i - \bar{Y})}{s_Y} & = 37.29 \\ n-1 & = 115 \\ R & = 0.3243 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} R & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2}} \\ & = \frac{1}{n-1} \frac{\sum_{i=1}^n X_i Y_i -n \bar{X}\bar{Y}}{s_X s_Y} \end{aligned} \]

Observem que \(\bar{X}\) e \(\bar{Y}\) representam as médias amostrais de cada uma das variáveis; e \(s_X\) e \(s_Y\) são os desvios-padrão amostrais de cada uma das variáveis.

\[ \begin{aligned} \bar{X} = 4.14 \quad \bar{Y} = 5.64 \quad n-1 & = 115 \\ \frac{\sum_{i=1}^n X_i Y_i -n \bar{X}\bar{Y}}{s_X s_Y} & = 37.29 \\ R & = 0.3243 \end{aligned} \]

• Um modelo de regressão possui, pelo menos, duas variáveis:
  • Variável independente, variável exploratória, variável preditora, covariável: \(x\);
  • Variável dependente, variável resposta: \(y\);
• Para alunos com notas de atividades de no máximo 6.25, como as notas das atividades se associam com a nota da prova P1?
  • Variável dependente (resposta): nota da prova P1;
  • Variável independente: nota das atividades do Moodle;

• O modelo de regressão usual descreve associação linear: \[ Y= \alpha + \beta X + \epsilon. \]
• Neste modelo, os termos adicionais são:
  • \(\alpha\): intercepto;
  • \(\beta\): coeficiente angular;
  • \(\epsilon\): erro observacional;
• Considerar o erro é necessário, pois associações perfeitas são improváveis;

• Utilizar diagramas de dispersão;
• Analisar visualmente a forma de associação entre X e Y;
• Buscar associação linear;
• Aferir a homogeneidade da variância;
• Buscar informação sobre independência das observações.

Um modo de determinar a melhor reta é pelo meio da minimização da soma dos erros quadrados:

• Determinar a função a ser minimizada;
• Determinar a primeira derivada com respeito aos parâmetros de interesse;
• Igualar estas derivadas a zero;
• Verificar segundas derivadas;

\[ \begin{aligned} Y_i & = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i \\ f(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2 & = \sum_{i=1}^n (Y_i - \alpha - \beta X_i)^2 \\ \frac{\partial f(\alpha, \beta)}{\partial \alpha} & = -2 \sum_{i=1}^n (Y_i - \alpha - \beta X_i) \\ \frac{\partial f(\alpha, \beta)}{\partial \beta} & = -2 \sum_{i=1}^n X_i (Y_i - \alpha - \beta X_i) \\ \hat{\alpha} & = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} \\ \hat{\beta} & = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \hat{\beta} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} & = \frac{157.9881517}{340} = 0.46 \\ \hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} & = 5.64 - 0.46 \times 4.14 = 3.72 \\ \mbox{P1} &= 3.72 + 0.46 \times \mbox{Moodle} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \hat{\alpha} & = 3.72 \\ \hat{\beta} & = 0.46 \end{aligned} \]

• \(\hat{\alpha}\) é a nota média na P1 para alunos com nota 0 no Moodle;
• \(\hat{\beta}\) é o aumento médio na nota da P1 para cada ponto extra no Moodle.

• Correlação e regressão apresentam associação;
• Associação não indica causalidade;
• Extrapolações não devem ser feitas;

A correlação entre estas duas variáveis (número de divórcios e consumo de margarina) é 0.9926.

Considere o número de divórcios como variável resposta e o consumo de margarina como variável independente.

Temos o seguinte modelo de regressão linear:

Ou seja, \[\mbox{divórcios} = 3.30 + 0.20 \times \mbox{margarina}\]