Caso 1: Variâncias diferentes e conhecidas

Assumindo que as duas amostras \(X_1, \ldots, X_n\) e \(Y_1, \ldots, Y_m\) são independentes com \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) conhecidas, temos:

\[ \bar{X} - \bar{Y} \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m} \right)\]

E daí, \[Z= \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}} \sim N(0, 1)\]

Do resultando anterior, similar com o que fizemos para uma média, podemos construir um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) da seguinte forma:

\[P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = P \left( -z_{\alpha/2} \leq \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

Portanto, um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) é dado por: \[IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) = (\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}}\]

Caso 2: Variâncias iguais e conhecidas

Considere o caso particular em que as variâncias são conhecidas e idênticas, isto é, \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\).

Então, \[Z= \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\sigma^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right) }} \sim N(0, 1)\]

E um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) é dado por: \[IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) = (\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\sigma^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}\]

Caso 3: Variâncias iguais e desconhecidas

E se as variâncias das duas populações são idênticas porém desconhecidas, isto é, \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\), \(\sigma^2\) desconhecida?

Assim como no caso de uma média com variância desconhecida, usamos uma estimativa de \(\sigma^2\) e a distribuição normal é substituída pela distribuição \(t\).

No caso de duas populações, o estimador da variância \(\sigma^2\) é a combinação das variâncias amostrais de cada população, ou seja, \[S_p^2 = \frac{(n-1)S_1^2 + (m-1)S_2^2}{n+m-2},\] sendo \(S_i^2\) é a variância amostral da população \(i\).

Então temos:\(\displaystyle \quad T= \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\displaystyle \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right) }} \sim t_{n+m-2}\)

E um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) é dado por: \[IC(\mu_1 - \mu_2, 1-\alpha) = (\bar{x} - \bar{y}) \pm t_{n+m-2, \alpha/2} \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)}\]

em que \(s_p^2\) é o valor de \(S_p^2\) obtido na amostra coletada.

Observação: Se \(n\) e \(m\) são pequenos, as duas amostras devem vir de populações aproximadamente normais. Se \(n\) e \(m\) são grandes, então a distribuição \(t\) com \(n+m-2\) graus de liberdade aproxima-se de uma normal.

O tempo de incubação do vírus 1 segue uma distribuição normal com média \(\mu_1\) e desvio padrão \(\sigma_{1}=\sqrt{2}\). Por outro lado, o tempo de incubação do vírus 2 segue uma distribuição normal com média \(\mu_2\) e desvio padrão \(\sigma_{2}=1\). Os tempos de incubação de ambos os vírus são considerados independentes.

Realizaram um estudo de controle e os tempos de incubação registrados foram (tempo em meses):

• X: tempo de incubação do vírus 1 (20 observações)

##  [1] 4.56 3.72 3.45 2.86 4.03 4.08 6.56 4.31 0.42 5.56 5.92 2.65 4.54 4.04
## [15] 4.23 6.24 6.16 5.46 3.22 2.28

• Y: tempo de incubação do vírus 2 (22 observações)

##  [1] 2.44 1.49 2.68 2.60 1.51 1.60 1.47 3.70 2.22 1.78 2.36 1.56 2.98 3.33
## [15] 2.22 0.58 2.26 2.26 1.92 0.50 1.17 1.70

Suspeita-se que o tempo de incubação do vírus 1 é maior que o do vírus 2.

Construa um IC de \(95\%\) para a diferença do tempo médio de incubação entre os vírus, isto é, \(\mu_1 - \mu_2\).

Antes de tudo temos que calcular a média amostral das duas populações: \(\bar x=4.21\) e \(\bar y = 2.02\).

Pelo enunciado, as duas populações são normais e as variâncias são conhecidas: \(\sigma_1^2 = 2\) e \(\sigma_2^2= 1\).

Veja que as populações são normais, variâncias diferentes mas conhecidas. Além disso, \(n=20\) e \(m=22\).

Portanto, um Intervalo de \(95\%\) de confiança para \(\mu_1-\mu_2\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(\mu_1-\mu_2, 0.95)&= (\bar{x} - \bar{y}) \pm z_{0.025} \sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n} + \frac{\sigma_2^{2}}{m}} \\ &= (4.21 - 2.02) \pm 1.96 \sqrt{\frac{2}{20} + \frac{1}{22}} \\ &= 2.19 \pm 1.96 \times 0.38 \\ &= [1.44; 2.94] \end{aligned}\]

Interpretação: Com grau de confiança igual a 95%, estimamos que a diferença entre o tempo médio de incubação do vírus 1 para o vírus 2 está entre 1.44 e 2.94 meses.

Dois tipos diferentes de tecido devem ser comparados. Uma máquina de testes Martindale pode comparar duas amostras ao mesmo tempo. O peso (em miligramas) para sete experimentos foram:

Construa um IC de 95% para a diferença entre os pesos médios dos tecidos. Admita que a variância é a mesma, e igual a 49.

Quais outras suposições são necessárias para que o IC seja válido?

Adaptado de: Profa. Nancy Garcia, Notas de aula.

Os tecidos do tipo A tem uma média amostral igual a \(\bar{x}_A=30.86\). Já os tecidos do tipo B têm média amostral de \(\bar{x}_B=33.57\).

A variância populacional é igual a 49, enquanto as variâncias amostrais são 44.14 e 52.62, respectivamente.

Suposições: Como os tamanhos amostrais \(n=m=7\) são pequenos, devemos assumir os pesos dos tecidos dos dois tipos são normalmente distribuídos ou seja, \(X_A \sim N(\mu_A, \sigma^2)\) e \(X_B \sim N(\mu_B, \sigma^2)\). Além disso são independentes e com variâncias iguais.

Assumindo que as variâncias são iguais e conhecidas (\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=49\)), um IC de 95% para \(\mu_A - \mu_B\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(\mu_A - \mu_B, 0.95) &= (\bar{x}_A - \bar{x}_B) \pm z_{0.025} \sqrt{\sigma^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)} \\ &= (30.86 - 33.57) \pm 1.96 \sqrt{49 \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{7}\right)} \\ &= -2.71 \pm 1.96 \times 3.74 \\ &= [-10.04; 4.62] \end{aligned} \]

Portanto, com um grau de confiança de 95%, estimamos que a diferença entre os pesos médios dos tecidos do tipo A e tipo B está entre -10.04 e 4.62 mg.

Vamos assumir agora que a variância populacional não fosse conhecida.

Assumindo ainda que as variâncias são iguais mas desconhecidas, vamos então estimar a variância amostral combinada.

Sabendo que \(s_1^2=44.14\), \(s_2^2=52.62\) e \(n=m=7\) temos: \[\begin{aligned} s_p^2 &= \frac{(n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2}{n+m-2}\\ &= \frac{(7-1) 44.14 + (7-1)52.62}{7 + 7 - 2} \\ &= 48.38 \end{aligned}\]

Nesse caso, um IC de 95% para \(\mu_A - \mu_B\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(\mu_A - \mu_B, 0.95) &= (\bar{x}_A - \bar{x}_B) \pm t_{n+m-2, 0.025} \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)} \\ &= (30.86 - 33.57) \pm 2.18 \sqrt{48.38 \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{7}\right)} \\ &= -2.71 \pm 2.18 \times 3.72 \\ &= [-10.82; 5.4] \end{aligned} \]

Portanto, com um grau de confiança de 95%, estimamos que a diferença entre os pesos médios dos tecidos do tipo A e tipo B está entre -10.82 e 5.4 mg.

Note que a margem de erro desse IC é maior que o caso anterior.

Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação (em anos), uma amostra aleatória, de 50 homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial, produziu os seguintes resultados:

Construa um IC de 95% para a diferença entre o tempo médio de adaptação para homens e mulheres.

Fonte: Adaptado de Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 365.

Veja que não sabemos a variância populacional, mas temos os desvios-padrão amostrais e estes são bem próximos. Então iremos assumir que as variâncias são iguais porém desconhecidas.

Nesse caso, vamos então estimar a variância amostral combinada.

Sabendo que \(s_1=0.8\), \(s_2=0.9\) e \(n=m=50\) temos: \[\begin{aligned} s_p^2 &= \frac{(n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2}{n+m-2}\\ &= \frac{(50-1) (0.8)^2 + (50-1)(0.9)^2}{50 + 50 - 2} \\ &= 0.73 \end{aligned}\]

Nesse caso, um IC de 95% para \(\mu_H - \mu_M\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(\mu_H - \mu_M, 0.95) &= (\bar{x}_H - \bar{x}_M) \pm t_{n+m-2, 0.025} \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)} \\ &= (3.2 - 3.7) \pm 1.98 \sqrt{0.73 \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{50}\right)} \\ &= -0.5 \pm 1.98 \times 0.17 \\ &= [-0.84; -0.16] \end{aligned} \]

Com um grau de confiança de 95%, estimamos que a diferença entre os tempos médios de adaptação entre homens e mulheres está entre -0.84 e -0.16 anos.

Considere \(X_1, \ldots,X_{n_1}\) e \(Y_1, \ldots,Y_{n_2}\) duas amostras independentes de ensaios de Bernoulli tal que \(X \sim b(p_1)\) e \(Y \sim b(p_2)\), com probabilidade \(p_1\) e \(p_2\) de apresentarem uma certa característica.

Queremos encontrar um IC de confiança para a diferença entre as proporções \(p_1\) e \(p_2\), ou seja, um IC para \(p_1 – p_2\).

Em aulas anteriores vimos que: \[\hat p_1 \sim N\left(p_1,\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} \right) \quad \mbox{e} \quad \hat p_2 \sim N\left(p_2,\frac{p_2(1-p_2)}{n_2} \right)\]

Como as variâncias de \(\hat p_1\) e \(\hat p_2\) dependem de \(p_1\) e \(p_2\) e, portanto, não são conhecidas, iremos usar uma estimativa dessas variâncias.

Ou seja, \[\hat p_1 \sim N\left(p_1,\frac{\hat p_1(1 - \hat p_1)}{n_1} \right) \quad \mbox{e} \quad \hat p_2 \sim N\left(p_2,\frac{\hat p_2(1 - \hat p_2)}{n_2} \right)\]

Condições: Todas as quantidades \(n_1\hat p_1, \; n_1(1- \hat p_1), \; n_2\hat p_2 \; \mbox{ e } \; n_2(1- \hat p_2)\) devem ser pelo menos igual a 10 para que a aproximação pela normal seja válida.

Então, \[Z = \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat p_1(1 - \hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1 - \hat p_2)}{n_2}}} \sim N(0, 1)\]

Similar com o que fizemos para uma proporção, podemos então construir um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(p_1 - p_2\) da seguinte forma:

\[P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = P \left( -z_{\alpha/2} \leq \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat p_1(1 - \hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2 (1 - \hat p_2)}{n_2}}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

Então, um IC de \(100(1-\alpha)\%\) para \(p_1 - p_2\) é dado por: \[IC(p_1 - p_2, 1-\alpha) = (\hat p_1 - \hat p_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p_1 (1 - \hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2 (1 - \hat p_2)}{n_2}}\]

Para o lançamento da nova embalagem de um sabonete a divisão de criação estuda duas propostas:

• A: amarela com letras vermelhas ou

• B: preta com letras douradas

Eles acreditam que a proposta A chama mais a atenção que B.

Realizaram uma pesquisa em dois supermercados “semelhantes” e perguntaram para um total de 1000 clientes se eles haviam notado a embalagem e então pediram para descrevê-la. Os resultados estão na tabela seguir.

• Seja \(p_A\) a proporção de pessoas que notaram a proposta A e \(p_B\) a proporção de pessoas que notaram a proposta B.

• Encontre um IC de 95% para \(p_A – p_B\)

• Usando os dados da tabela: \[\hat p_A = \frac{168}{400}=0.42 \quad \mbox{e} \quad \hat p_B = \frac{180}{600}=0.3 \]

Veja que as condições são satisfeitas.

Então um IC de 95% para \(p_A - p_B\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(p_A - p_B, 0.95) &= (\hat p_1 - \hat p_2) \pm z_{0.025} \sqrt{\frac{\hat p_1 (1 - \hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2 (1 - \hat p_2)}{n_2}} \\ &= (0.42 - 0.3) \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.42 (0.58)}{400} + \frac{0.3 (0.7)}{600}} \\ &= 0.12 \pm 1.96 \times 0.031 \\ &= [0.059; 0.181] \end{aligned} \]

Portanto, com um grau de confiança de 95%, estimamos que a diferença entre as proporções \(p_A\) e \(p_B\) está entre 0.059 e 0.181.

Um ensaio clínico é realizado para avaliar um novo tipo de tratamento contra uma doença e comparar os resultados com aqueles obtidos usando o tratamento tradicional.

Dos 50 pacientes tratados com o tratamento novo, 36 se curaram e dos 45 tratados com o antigo 29 se curaram.

Seja \(p_1\) a proporção de curados com o tratamento novo e \(p_2\) a proporção de curados com o tratamento antigo.

Encontre um IC de 99% para \(p_1 - p_2\).

A proporção de curados pelos tratamentos novo e antigo são, respectivamente: \[\hat p_1 = \frac{36}{50}=0.72 \quad \mbox{e} \quad \hat p_2 = \frac{29}{45}=0.8 \]

Então um IC de 99% para \(p_1 - p_2\) é dado por: \[\begin{aligned} IC(p_1 - p_2, 0.99) &= (0.72 - 0.8) \pm z_{0.005} \sqrt{\frac{0.72 (0.28)}{50} + \frac{0.8 (0.2)}{45}} \\ &= -0.08 \pm 2.58 \times 0.087 \\ &= [-0.305; 0.145] \end{aligned} \]

Portanto, com um grau de confiança de 99%, estimamos que a diferença entre as proporções de curados pelos tratamentos novo e antigo está entre -0.305 e 0.145.