• Variáveis aleatórias discretas: v.a. com valores possíveis enumeráveis. Soma das probabilidades de todos os valores possíveis igual a \(1\).

• Variáveis aleatórias contínuas: v.a. com valores possíveis em um intervalo no conjunto de números reais.

• Exemplo: tempo para finalizar um experimento, peso de uma pessoa, duração de uma chamada telefônica, tempo de vida de uma lâmpada, etc…

• Para esses tipos de quantidades, não é possível associar frequências pontuais tais que a soma de todas seja igual a 1.

• Surge então o conceito de "função de densidade de probabilidade" (f.d.p.).

• Para cada v.a. contínua, associamos uma função de densidade de probabilidade.

Definição: a função de densidade de probabilidade de uma v.a. \(X\) é uma função \(f\) que verifica:

• \(f(x)\geq0 \quad \forall x\in \mathbb{R}\)

• \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\) (\(f\) é integrável)

Toda v.a. \(X\) à qual seja possível associar uma função de densidade de probabilidade será chamada de v.a. contínua.

Notação: se \(X\) v.a. contínua com função de densidade de probabilidade \(f\), no lugar de \(f\) denotaremos \(f_{X}\).

À probabilidade de que uma v.a. \(X\) contínua pertença ao intervalo da reta (\(-\infty,x\)] daremos o nome de função de distribuição acumulada (f.d.a.), e a denotaremos por \(F_{X}\) \[F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)du=P(X\leq x)\]

Exemplo: \(X\) v.a. contínua com função de densidade:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Pela definição de função de densidade:

• \(f(x)\geq0\quad \forall\, x\in \mathbb{R}\)

• \(\int_{0}^{2}f(x)dx= \int_{0}^{1}xdx + \int_{1}^{2}(2-x)dx =1\)

• Podemos também calcular \(P(0<X\leq 0.8)= \int_{0}^{0.8}xdx=0.32\)

Propriedade: toda v.a. \(X\) contínua (ou seja, que possui \(f_{X}\) como função de densidade) tem probabilidade pontual nula: \(P(X=x)=0\).

Resumindo: \(F(x)=P(X\leq x)\)

• caso discreto: \(F(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}P(X=x_{i})\)
  
• caso contínuo: \(F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(u)du\)

Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer as seguintes propriedades:

1. \(f(x)\geq0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1\).

Note que \(e^{-x}\) é positiva para qualquer \(x\) e, consequentemente, \(2e^{-2x}\) também.

Resta mostrar que sua integral é 1:

\[ \int 2e^{-2x} dx = -e^{-2x}\]

Note que a função está definida nesta forma para \(x \geq 0\); para \(x<0\), ela é 0.

Então a integral é:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^0 0 dx + \int_0^{\infty} 2e^{-2x} dx = \]

\[ = \left [ -e^{-2x} \right ] _{0}^{\infty} = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-0} \right) = 1 \]

A probabilidade é dada por: \[P(X>10) = \int_{10}^{\infty} 2e^{-2x} dx = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-2\cdot10} \right) = \frac{1}{e^{20}}\]

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), a esperança de \(X\) é dada por: \[E(X)= \int_{-\infty}^{\infty}x\,f_{X}(x)dx\,.\]

Definição: seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), o \(k\)-ésimo momento de \(X\) é dado por:

\[E(X^k)= \int_{-\infty}^{\infty}x^k\,f_{X}(x)dx\,.\]

Definição: seja \(X\) v.a. com valor esperado \(E(X)\), definimos por variância, a quantidade:

\[Var(X)= E([X-E(X)]^2)= E(X^2)-[E(X)]^2\,.\]

E definimos como desvio padrão: \[\sigma(X)= \sqrt{Var(X)}\]

Note que assim como no caso discreto, ambas as quantidades oferecem medidas de dispersão da variável \(X\) em relação ao valor esperado \(E(X)\).

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua é dada por \[F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\]

Temos que para \(x \in [0,1/2)\), \(F(x)\) é dada por \[F(x) = \int_0^x 4t dt = 2x^2\]

Para \(x \in [1/2,1]\), a acumulada é dada por \[F(x) = \int_0^{1/2} 4t dt + \int_{1/2}^x 4(1-t)dt = -2x^2 + 4x -1\]

• Dizemos que a v.a. \(X\) tem distribuição Uniforme no intervalo \([a,b]\), \(a<b\) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

• Notação: \(X \sim U[a,b]\) ou \(X \sim U(a,b)\).

• Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < a \\ \int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}dt=\frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \\ \end{array} \right.\]

• Cálculo da \(E(X)\):

\[E(X)= \int_{a}^{b}x\frac{1}{(b-a)}dx=\frac{(b+a)}{2}\]

• Cálculo da \(Var(X)\):

\[E(X^{2})= \int_{a}^{b}x^{2}\frac{1}{(b-a)}dx= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}\]

\[Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}-\frac{(b+a)^{2}}{4}= \frac{(b-a)^{2}}{12}\]

Lembre-se que a esperança de uma v.a. uniforme em \([a,b]\) é dada por \[E(X) = \frac{a+b}{2}\] e sua variância por \[\mbox{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

Temos o seguinte sistema, portanto:

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} \frac{a+b}{2} &=& 15 \\ \frac{(b-a)^2}{12} &=& \frac{25}{3} \\ \end{array} \right. \]

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} a+b &=& 30 \\ (b-a)^2 &=& 100 \\ \end{array} \right. \]

Ou simplesmente (você é capaz de dizer por que tomamos a raiz positiva apenas, neste sistema não-linear?)

\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a + b & = & 30 \\ b - a & = & 10 \\ \end{array} \right. \]

O sistema tem solução \(a=10\), \(b=20\), o que nos mostra que \(X \sim U[10,20]\) e

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 20 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

• Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\) (\(\lambda>0\)) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

• Notação: \(X \sim exp(\lambda)\).

• Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

• Cálculo da \(E(X)\):

\[E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}\]

• Cálculo da \(Var(X)\):

\[E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{\lambda^{2}}\]

\[Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}\]

Sabemos que se \(X \sim exp(\lambda)\), então \(F(x) = P(X \leq x) = 1-e^{-\lambda x}\) e \(\mathbb{E}(X) = \lambda^{-1}\).

Basta então observarmos que

\[P(X \leq 1000) = 1 - e^{-\lambda 1000} = 0.75 \Leftrightarrow \lambda = \frac{\ln(4)}{1000} = 0.0013863\]

Concluimos então que o tempo médio de vida, \(\mathbb{E}(X)\), é igual a \(1/0.0013863 = 721.3475\) horas, e que \(75\%\) dos componentes duram 1000 horas ou menos.

Um antiga fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de \(800\) horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial.

Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de \(300\) horas de uso?

A f.d.p. \[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 e^{-2 x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

representa a distribuição do índice de acidez (\(X\)) de um determinado produto alimentício.

O produto é consumível se este índice for menor do que \(2\).

O setor de fiscalização apreendeu \(30\) unidades do produto. Qual a probabilidade de que pelo menos \(10\%\) da amostra seja imprópria para consumo?