• Vimos que a esperança nos dá a média ponderada de todos os resultados possíveis de uma v.a..

• No entanto, a esperança não descreve a dispersão dos dados.

• Considere as seguintes v.a.'s:

\[U=0, \mbox{ com probabilidade 1}\] \[ V= \begin{cases} -1, & \mbox{com prob. 1/2} \\ \;\; 1, & \mbox{com prob. 1/2} \end{cases} \quad \mbox{e} \quad W= \begin{cases} -10, & \mbox{com prob. 1/2} \\ \;\; 10, & \mbox{com prob. 1/2} \end{cases} \]

\[\mathbb E(U)=\mathbb E(V)=\mathbb E(W)=0\]

No entanto, claramente a dispersão é bem diferente para as três variáveis.

Queremos uma medida para quantificar quão distantes os valores da v.a. \(X\) estão da sua esperança.

Definição: Se \(X\) é uma v.a. com esperança \(\mathbb E(X)=\mu\), então a variância de \(X\) é: \[Var(X)=\mathbb E[(X-\mu)^2]\]

Notação: \(\sigma^2 = Var(X)\)

• Se \(X\) é uma v.a. discreta assumindo valores \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) com respectivas probabilidades \(P(X=x_i) = p_i\), então:

\[Var(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 p_i\]

Definição: \(Var(X)=\mathbb E([X-\mathbb E(X)]^{2})\)

Uma forma alternativa de calcular a variância é usando a fórmula: \[Var(X) = \mathbb E(X^{2}) - [\mathbb E(X)]^{2}\]

Demonstração: \[ \begin{aligned} \mathbb E([X-\mathbb E(X)]^{2}) &= \mathbb E([X-\mu]^{2}) \\ & = \mathbb E(X^{2}-2X\mu+\mu^{2}) = \mathbb E(X^{2}) - 2\mu \mathbb E(X) + \mu^{2} \\ & = \mathbb E(X^2) - 2\mu\mu + \mu^2 = \mathbb E(X^2)- 2\mu^{2} + \mu^{2} \\ & = \mathbb E(X^2) - \mu^{2} \\ & = \mathbb E(X^{2}) - [\mathbb E(X)]^2 \end{aligned} \]

Encontre \(Var(X)\), onde \(X\) é uma v.a. tal que:

\[ X= \begin{cases} 1, & \mbox{com probabilidade } p \\ 0, & \mbox{com probabilidade } 1-p \end{cases}\]

\[ \begin{aligned} \mathbb E(X) &= 1\times p +0\times (1-p) = p \\ Var(X) & =\mathbb E(X^2)-p^2 \end{aligned} \]

\[ X^2= \begin{cases} 1^2, & \mbox{com probabilidade } p \\ 0^2, & \mbox{com probabilidade } 1-p \end{cases} \]

\[ \begin{aligned} \mathbb E(X^2) &= 1\times p +0\times (1-p) = p \\ Var(X) & = p-p^2=p(1-p) \end{aligned} \]

1. Para qualquer v.a. \(X\) e constantes \(a\) e \(b\): \[\mathbb E(aX + b) = a \mathbb E(X) + b\]

   Casos particulares:
   • \(\mathbb E(X+b) = \mathbb E(X) + b\)
   • \(\mathbb E(aX) = a \mathbb E(X)\)

2. Se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) são variáveis aleatórias: \[ \mathbb E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \mathbb E(X_i)\]

Proposição: Se \(X\) é uma v.a. discreta com valores \(x_i\) e função de massa \(p(x_i)\), então para qualquer função \(g\): \[ \mathbb E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i)p(x_i) \]

Exemplo: Seja \(X\) uma v.a. tal que:

\[ X= \begin{cases} 1, & \mbox{com probabilidade } p \\ 0, & \mbox{com probabilidade } 1-p \end{cases}\]

\[\mathbb E(X^2) = 1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) = p\]

1. Para qualquer v.a. \(X\) e constantes \(a\) e \(b\): \[Var(aX + b) = a^2Var(X)\]

   Casos particulares:
   • \(Var(X+b) = Var(X)\)
   • \(Var(aX) = a^2 Var(X)\)

2. Se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) são variáveis aleatórias independentes: \[ Var \left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i)\]

• A média, valor esperado ou esperança de uma variável aleatória discreta \(X\), cuja f.d.p. é dada por \(P\left(X=x_{i}\right)=p_i\) é dada pela expressão:

\[\mu_{X}=\mathbb E\left(X\right)=\sum_{i\geq 1}x_ip_i\]

• A mediana (Md) é o valor que satisfaz:

\[P\left(X \geq Md\right)\geq \frac{1}{2} \quad \mbox{e} \quad P\left(X \leq Md\right)\geq \frac{1}{2}\]

• A moda (Mo) é o valor da variével \(X\) que tem maior probabilidade de ocorrência:

\[P\left(X=Mo\right)=\max\{p_{1},p_{2},\ldots \}\]

Exemplo: considere a v.a. discreta \(X\), tal que:

• \(\mu_{X}=\mathbb E(X)=(-5)\times 0.3 + 10 \times 0.2 + 15 \times 0.4 + 20 \times 0.1=8.5\)

• \(Mo(X)=15\)

• \(P(X \leq 10)= P(X \geq 15)=0.5\), então a mediana é \(Md(X)=\frac{10+15}{2}=12.5\)

• Obs: note que nem a média (8.5) nem a mediana (12.5) são valores assumidos pela variável \(X\).

Exemplo: considere a v.a. \(X\) tal que:

\[\mu_{X}=10.3\]

\[Mo(X)=5\]

\[Md(X)=8\]

Exemplo: Considere a v.a. \(X\) do slide anterior e seja \(Y = 5X - 10\)

\[\mu_{Y}=41.5, \qquad Mo(Y)=15 \qquad \mbox{e} \qquad Md(Y)=30\]

Note que, como \(Y = 5X - 10\):

\[\mu_{Y}=5\mu_{X}-10 = 5\times 10.3 - 10 = 41.5\]

\[Mo(Y)=5Mo(X)-10 = 5 \times 5 - 10 = 15\]

\[Md(Y)=5Md(X)-10 = 5 \times 8 = 10= 30\]

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas.

Retire três bolas, sem reposição, e defina a variável aleatória \(X\) igual ao número de bolas pretas.

Obtenha a distribuição de \(X\). Calcule a esperança e a variância.

Fonte: Morettin | Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 135.

Repare que não há reposição:

• a primeira extração tem 5 possibilidades em 8 de ser uma bola preta;

• a segunda terá 5 em 7 se a primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante.

Como \(X\) é o número de bolas pretas, temos que:

Somando as probabilidades dos eventos, encontradas anteriormente, obtemos a função de distribuição de \(X\), \(p_X(x)\).

Eventos	\(X=x\)	\(p_X(x) = P(X=x)\)
\(\{VVV\}\)	0	\(0.02\)
\(\{VVP\} \cup \{VPV\} \cup \{PVV\}\)	1	0.27
\(\{PPV\} \cup \{PVP\} \cup \{VPP\}\)	2	0.53
\(\{PPP\}\)	3	0.18

Podemos calcular a esperança e a variância de \(X\) a partir de sua função de probabilidade:

\[ \begin{aligned} \mu &= \mathbb E (X ) = \sum_{x=0}^3 xp_X (x) \\ & = 0 \times 0.02 + 1 \times 0.27 + 2 \times 0.53 + 3 \times 0.18 = 1.87 \\ \\ Var(X) & = \mathbb E[(X-\mu)^2] = \sum_{x=0}^3 (x-\mu)^2 p_X(x) \\ & = (0-1.87)^2 \times 0.02 + (1-1.87)^2 \times 0.27 + \\ & + (2-1.87)^2\times 0.53 + (3-1.87)^2 \times 0.18= 0.51 \end{aligned} \]

O tempo \(T\), em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:

\(T\)	2	3	4	5	6	7
\(P(T=t)\)	\(0.1\)	\(0.1\)	\(0.3\)	\(0.2\)	\(0.2\)	\(0.1\)

1. Calcule o tempo médio de processamento.

2. Cada peça processada paga ao operador \(\$2.00\) mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha \(\$0.50\) por minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, ganha um bônus de \(\$1.00\). Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. \(S\): quantia paga por peça.

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 140.

1. Tempo médio de processamento \[ \begin{aligned} \mathbb E (T) & = \displaystyle \sum_{t=2}^7 t P(T=t) \\ & = 2\times 0.1 + 3\times 0.1 + 4\times 0.3 + 5\times 0.2 + 6\times 0.2 + 7\times 0.1 = 4.6 \end{aligned} \]

2. Podemos trocar os valores na tabela do tempo, pelo total ganho por peça. Note, contudo, que o operário receberá \(\$ 2.00\) no evento \(\{T=6\} \cup \{T=7\}\), logo somamos suas probabilidades. Seja \(S\) a v.a. "ganho final".

Obtemos a média e a variância de \(S\) através da definição:

\[ \begin{aligned} \mathbb E (S) &= \displaystyle \sum_{s} s P(S=s) \\ &= 4\times 0.1 + 3.5\times 0.1 + 3\times 0.3 + 2.5 \times 0.2 + 2\times 0.3 = 2.75 \\ \\ \mathbb E (S^2) & = \displaystyle \sum_{s} s^2 P(S=s) \\ &= 16\times 0.1 + 12.25 \times 0.1 + 9\times 0.3 + 6.25\times 0.2 + 4\times 0.3 = 7.975 \end{aligned} \]

Então, \[\mbox{Var} (S) = 7.975 - (2.75)^2 = 0.4125\]

Exemplo: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11, 29, 68 e 93.

Quem tem maior probabilidade de ser sorteado?

• espalhar os números é a melhor forma de ganhar o sorteio?

• assumindo honestidade da rifa, todos os números têm a mesma probabilidade de ocorrência, com \(\frac{1}{100}\) para cada um.

• como eu e meu colega temos 5 bilhetes, temos a mesma probabilidade de ganhar a rifa: \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\).

• assim, a probabilidade de ganhar depende somente da quantidade de bilhetes que se tem na mão, independente da numeração.

• A v.a. discreta \(X\), assumindo valores \(x_{1},x_{2},...,x_{k}\), segue uma distribuição uniforme discreta se, e somente se, cada valor possível tem a mesma probabilidade de ocorrer, isto é,

\[P(X=x_i) = p(x_i) = \frac{1}{k}, \quad \forall \; 1\leq i \leq k\]

Exemplo: lançamento de um dado honesto de 6 faces

A média e a variância são dadas por:

\(\mathbb E(X)=\displaystyle \sum_{i=1}^k x_iP(X=x_i)= \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i\)

\(Var(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^k (x_i - \mathbb E(X))^2 P(X=x_i) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k (x_i - \mathbb E(X))^2\)

ou

\(Var(X) = \mathbb E(X^2) - [\mathbb E(X)]^2 = \displaystyle \frac{1}{k} \left[\sum_{j=1}^{k}x_{j}^{2} - \frac{1}{k} \left ( \displaystyle\sum_{j=1}^{k}x_{j} \right)^{2} \right]\)

Exemplo: lançamento de um dado honesto de 6 faces

Calculando a esperança e a variância de \(X\):

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6)= \frac{21}{6} = 3.5\)

\(Var(X) = \displaystyle \frac{1}{6} \left[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) - \frac{1}{6} (21)^{2} \right] = \frac{1}{6} \times \frac{35}{2} = 2.92\)

Cálculo da função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma variável uniforme discreta:

\[F(x)= P(X\leq x)= \sum_{x_i \leq x} \frac{1}{k} = \frac{\#(x_i \leq x)}{k}\]

Exemplo: voltando ao exemplo do lançamento de um dado honesto de 6 faces

• \(F(2)= P(X\leq2)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{2}{6}\)

• \(F(2.5)= P(X\leq2.5)= P(X=1)+P(X=2)=\frac{2}{6}\)

Em muitas aplicações, cada observação de um experimento aleatório é binária: tem apenas dois resultados possíveis.

Por exemplo, uma pessoa pode:

• aceitar ou recusar uma oferta de cartão de crédito de seu banco.

• votar sim ou não em uma assembléia.

• Considere um experimento aleatório com dois resultados possíveis: sucesso e fracasso.

• Seja \(p\) a probabilidade de sucesso.

• Exemplo: lançar uma moeda e verificar se cai cara ou coroa. Consideramos como sucesso, a obtenção de cara. Se a moeda é honesta, \(p=1/2\).

• Esse tipo de experimento é conhecido como Ensaio de Bernoulli.

• Exemplo: lançar um dado, sendo "sucesso" o obtenção da face 6. Se o dado é honesto, a probabilidade de sucesso é \(p=1/6\).

• Exemplo: Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade, e é perguntado a ela se concorda com um projeto.

• As possíveis respostas são apenas "Sim" ou "Não". \[\Omega=\{\mbox{Sim},\mbox{Não}\}\]

\[ X = \begin{cases} 1, & \mbox{se a pessoa respondeu sim } (sucesso) \\ 0, & \mbox{caso contrário } (fracasso) \\ \end{cases} \]

\[P(X=1)=P(sucesso)=p \;\; \rightarrow \;\; P(X=0)=P(fracasso)=1-p\]

Seja \(X\) uma v.a. discreta assumindo apenas valores 0 e 1, onde \(X=1\) corresponde a sucesso e seja \(p\) a probabilidade de sucesso.

A distribuição de probabilidade de \(X\) é dada por:

\[ P(X=x) = \begin{cases} p & \mbox{se } x=1 \\ 1-p & \mbox{se } x=0 \\ \end{cases} \]

Ou de forma equivalente, podemos escrever como: \[P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad \mbox{para } x=0,1\]

Notação: \(X \sim b(p)\)

Se \(X\) é um v.a. Bernoulli, \(X \sim b(p)\), então:

\[\mathbb E(X) = p \quad \mbox{e} \quad Var(X)=p(1-p)\]

Demonstração:

• Esperança: \(\mathbb E(X)= 0\times(1-p) + 1\times p = p\)

• \(\mathbb E(X^{2})= 0^{2}\times(1-p) + 1^{2}\times p = p\)

• Variância: \[\begin{aligned} Var(X) &= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2} \\ & = p-p^{2} =p(1-p) \end{aligned} \]

Exemplo: lançamos um dado e consideramos sucesso a obtenção da face 5

Supondo que o dado seja honesto, a probabilidade de sucesso é \(p = 1/6\). Então:

\[ \begin{aligned} P(X=x) &= \left(\frac{1}{6} \right)^x \left(\frac{5}{6} \right)^{1-x} \qquad \mbox{para } x=0,1 \\ &= \begin{cases} 5/6 & \mbox{se } x=0 \\ 1/6 & \mbox{se } x=1 \\ \end{cases} \end{aligned} \]

• Encontre a esperança e variância de X.

\(\qquad \mathbb E(X)=\frac{1}{6} \qquad \qquad \mathbb E(X^2)=\frac{1}{6}\)

\(\qquad Var(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{6-1}{36}=\frac{5}{36}\)

Ao obtermos uma amostra do experimento/fenômeno aleatório com observações binárias, podemos resumir os resultados usando o número ou a proporção de observações com o resultado de interesse.

Sob certas condições, a v.a. \(X\) que conta o número de vezes que um resultado específico ocorreu, dentre dois possíveis, tem uma distribuição de probabilidade chamada Binomial.

• Considere um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\) e o evento \(A\).

• Vamos dizer que ocorreu sucesso se o evento \(A\) aconteceu. Se \(A\) não aconteceu ocorreu fracasso.

• Repetimos o experimento \(n\) vezes, de forma independente.

• Seja \(X\) o número de sucessos nos \(n\) experimentos.

Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de \(80\%\).

Um grupo de 3 indivíduos é sorteado, dentre a população vacinada, e cada um é submetido a testes para averiguar se está imunizado.

Nesse caso, consideramos como sucesso a imunização.

\[ X_i = \begin{cases} 1, & \mbox{indivíduo i está imunizado} \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{cases} \]

Pelo enunciado, sabe-se que \(P(X_{i}=1)=p=0.8\).

• Os indivíduos 1, 2 e 3 são independentes.

• As v.a.'s \(X_1\), \(X_2\) e \(X_3\) são Bernoulli.

• Se o interesse está em estudar \(X=\) número de indivíduos imunizados no grupo, \(X\) poderá assumir valores \(\{0,1,2,3\}\).

• Note que \(X=X_{1}+X_{2}+X_{3}\).

• Assim, as probabilidades de cada valor possível de \(X\) são:

\(X\)	0	1	2	3
\(P(X=x)\)	\((0.2)^{3}\)	\(3\times0.8\times(0.2)^{2}\)	\(3\times(0.8)^{2}\times0.2\)	\((0.8)^{3}\)

• E o comportamento de \(X\) é completamente determinado pela função:

\[P(X=x)={3\choose x}(0.8)^{x}(0.2)^{3-x}, \qquad x=0,1,2,3\]

Modelo Geral: Considere a repetição de \(n\) ensaios \(X_i\) Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso \(p\).

A variável aleatória \(X=X_{1}+...+X_{n}\) representa o total de sucessos e corresponde ao modelo Binomial com parâmetros \(n\) e \(p\), ou seja, \(X\sim Bin(n,p)\).

A probabilidade de se observar \(x\) é dada pela expressão geral: \[P(X=x)={n\choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}, \qquad x=0,1,...,n\]

A esperança e variância de uma v.a. Binomial são dadas por: \[\mathbb E(X)=np \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=np(1-p)\]

• No exemplo da vacina, temos então que o número de indíviduos imunizados segue uma distribuição Binomial com \(n=3\) e \(p=0.8\)

\[X\sim Bin(3,0.8)\]

• Qual a probabilidade de que dentre os 3 indíviduos, nenhum tenha sido imunizado? \[ P(X=0) = {3 \choose 0} 0.8^0 0.2^3 = 0.008\]

• Encontre a esperança e variância:

\[\mathbb E(X)=3\times 0.8 = 2.4 \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=3\times0.8\times0.2 = 0.48\]

Um inspetor de qualidade extrai uma amostra aleatória de 10 tubos armazenados num depósito onde, de acordo com os padrões de produção, se espera um total de \(20\%\) de tubos defeituosos.

Qual é a probabilidade de que não mais do que \(2\) tubos extraídos sejam defeituosos?

Se \(X\) denotar a variável "número de tubos defeituosos em 10 extrações independentes e aleatórias", qual o seu valor esperado? Qual a variância?

Note que a variável aleatória \(X\) = número de tubos defeituosos em 10 extrações tem distribuição binomial, com parâmetros \(n=10\) e \(p=0.2\).

Então, "não mais do que dois tubos defeituosos" é o evento \(\{X\leq2\}\).

Sabemos que, para \(X \sim Bin(10, 0.2)\) \[P(X=x) = { 10\choose x } 0.2^x (1-0.2)^{10-x}, \qquad x=0,1, \ldots, 10\]

e que \[\begin{aligned} P(X\leq2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ &=(1-0.2)^{10} + 10 \times 0.2 (1-0.2)^{9} + 45 \times 0.2^2 (1-0.2)^8 = 0.6778 \end{aligned} \]

Se \(X \sim Bin(n,p)\), então \(\mathbb E(X) = np\) e \(Var(X) = np(1-p)\)

Então:

\(\mathbb E(X) = 10 (0.2) = 2\)

\(Var(X) = 10 (0.2)(0.8) = 1.6\)

Quando se encontram quatro ou mais tubos defeituosos, o processo de produção é interrompido para revisão. Qual é a probabilidade que isto aconteça?

\[ \begin{aligned} P(X\geq 4) &= 1 - P(X < 4) \\ &= 1 - P(X \leq 3) \\ &= 1-0.879 = 0.121 \end{aligned} \]

Exemplo: Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B classificaram um grande lote de peças adquiridas em categorias \(I\) e \(II\), pagando \(\$ 1.20\) e \(\$ 0.80\) por peça, respectivamente, do seguinte modo:

• Comprador A: retira uma amostra de cinco peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como \(II\).

• Comprador B: retira uma amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classifica como \(II\).

Em média, qual comprador oferece mais lucro?

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 159.

Sabemos que 1/5 das peças são defeituosas.

Podemos nos concentrar na probabilidade dos vendedores julgarem um lote como tipo \(I\) ou \(II\).

Seja \(X\) o número de peças defeituosas em \(n\) testes.

O experimento do comprador A tem distribuição \(X_A \sim Bin(5, 1/5)\) enquanto o experimento do comprador B tem distribuição \(X_B \sim Bin(10, 1/5)\).

Para o comprador A, temos que: \[ \begin{aligned} P(X_A > 1 ) &= 1 - P(X_A = 0 ) - P(X_A = 1 ) \\ &= 1 - {5 \choose 0} \left (1-\frac{1}{5} \right)^5- {5 \choose 1} \left( \frac{1}{5} \right) \left (1-\frac{1}{5} \right)^4 = 0.2627 \end{aligned}\]

De modo similar, para o comprador B temos: \[\begin{aligned} P(X_B > 2 ) &= 1 - {10 \choose 0} \left (1-\frac{1}{5} \right )^{10} - {10 \choose 1} \frac{1}{5} \left (1-\frac{1}{5} \right )^9 \\ &- {10 \choose 2} \left( \frac{1}{5} \right)^2 \left (1-\frac{1}{5} \right )^8 = 0.3222 \end{aligned}\]

Como o segundo comprador irá classificar o lote como \(II\) com maior probabilidade que o primeiro, ele é o que oferece menor lucro para o fornecedor.

Mas podemos verificar o lucro esperado do vendedor.

Preço por peça na categoria \(I\): $1.20. Preço por peça na categoria \(II\): $0.80.

Se o industrial decidir vender o lote para o comprador A, temos que

\[\mathbb E(\mbox{lucro A}) = 1.20 \times 0.7373 + 0.80 \times 0.2627 \approx 1.09\]

Ou seja, ele irá lucrar em média \(\$ 1.09\) por peça.

Já se ele vender para o comprador B, temos que

\[\mathbb E(\mbox{lucro B}) = 1.20 \times 0.6778 + 0.80 \times 0.3222 \approx 1.07\]

que é um lucro dois centavos inferior.

Portanto, é mais interessante ao industrial que o comprador A examine mais peças.