Diariamente, tomamos decisões com relação a eventos incertos:

Devo investir na bolsa?

Vale a pena fazer um plano odontológico?

Devo contratar um seguro para o meu carro?

Devo levar um guarda-chuva?

Devo me matricular numa disciplina eletiva com baixa taxa de aprovação?

Experimento: qualquer processo que produza uma observação ou resultado

Experimento Determinístico: é aquele que, dada uma ação controlada, sabemos exatamente qual será o resultado obtido

Exemplo: lançamento de um dado com todas as faces iguais a 6

Único resultado possível? 6

Experimento Aleatório: é aquele em que não se tem certeza sobre seus resultados, a prior. Mútiplos resultados podem ser obtidos a partir de uma única ação. Cada vez que se repete o experimento, o resultado pode ser diferente.

Exemplo: lançamento de um dado de seis faces

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidade: medida de incerteza sobre certos eventos ou características de interesse.

Tais eventos, em geral, estão associados a experimentos aleatórios.

Aleatorização:

• Jogar um dado.

• Jogar uma moeda.

• Girar uma roleta.

Ex: para aleatorizar dois tratamentos entre pacientes, pode-se lançar uma moeda. Se sair "cara" o paciente recebe a droga A, se sair "coroa", recebe a droga B.

Você está jogando Ludo: um dado é usado para movimentar as peças.

Em certo ponto do jogo, durante a sua vez, o 6 sai 3 vezes seguidas e você vence o jogo!

Dentre os de 100 lançamentos do dado durante a sua vez, seu oponente no jogo comenta que o 6 saiu 23 vezes.

Seu oponente então reclama que o dado estava te favorecendo com tantos 6, portanto o dado não era "justo".

Se o dado é "justo", quantos 6 você espera que ocorram em 100 lançamentos?

Se um dado "justo" é lançado diversas vezes, esperamos que o 6 ocorra \(1/6\) das vezes.

100 lançamentos: \(100/6\approx 17\) vezes.

É muito improvável que o 6 saia 23 vezes em 100 lançamentos? Como verificar?

• Lance o dado 100 vezes.
• Conte o número de 6 que aparecem.
• Repita várias vezes esse processo.

Você obtém assim a distribuição de frequências do 6 em 100 lançamentos do dado.

O resultado da simulação é um caso particular da Lei dos Grandes Números, resultado provado em 1689 pelo matemático suíço Jacob Bernoulli.

Se um evento de probabilidade p é observado repetidamente em ocasiões independentes, a proporção da frequência observada deste evento em relação ao total número de repetições converge em direção a p à medida que o número de repetições se torna arbitrariamente grande.

Em um fenômeno aleatório, a probabilidade de um resultado acontecer é a proporção de vezes que o resultado ocorreu quando consideramos muitas observações do fenômeno em questão.

• Quando dizemos que a probabilidade do \(6\) sair no dado é \(1/6\), estamos dizendo que a proporção esperada de \(6\) em vários lançamentos (observações) do dado é \(1/6\).

• Quando a previsão do tempo diz que a chance de chuva para hoje é 70%, quer dizer que para vários dias observados no passado com condições atmosféricas equivalentes ao dia de hoje a proporção observada de dias de chuva foi \(0.7\).

Algumas vezes, é possível fazer alguma suposição sobre o fenômeno aleatório considerado.

• Ao lançar um dado, podemos assumir que cada valor de \(1\) a \(6\) tenha a mesma chance de ocorrer: \(1/6\).

• Ao lançar uma moeda, podemos assumir que ela pode cair de um lado ou de outro com a mesma chance: \(1/2\).

Outras vezes, podemos utilizar a distribuição de frequências observadas como uma estimativa das probabilidades.

Estudar as probabilidades de ocorrência das faces de um dado.

Procedimento Empírico: lançar o dado um certo número \(n\) de vezes e contar o número de vezes, \(n_i\), que a face \(i=1,2,3,4,5,6\) ocorre.

Distribuição empírica das probabilidades:

\[f_{i}=\frac{n_{i}}{n}\,.\]

Para diferentes vezes que esse experimento for realizado, a distribuição de frequência terá resultados diferentes (exemplo anterior, lançamento de 100 dados, várias vezes).

No entanto, espera-se que esses resultados, apesar de distintos, sejam semelhantes.

Procedimento Teórico: construir a distribuição de frequências populacionais (probabilidades) através de suposições teóricas.

Suposições:

• só podem ocorrer 6 faces: \(\{1,2,3,4,5,6\}\);

• o dado é perfeitamente equilibrado;

• então, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes, ou seja \(f_{i}=\frac{1}{6}\).

Para quantificar incerteza em fenômenos aleatórios usando probabilidades, precisamos primeiro especificar o conjunto de todos os possíveis resultados do fenômeno em questão.

• Espaço Amostral: todos os resultados possíveis do experimento (aleatório), denotado por \(\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},... \}\).

• Probabilidade: \(P(\omega)\), para cada "ponto amostral" \(\omega\).

1. Se o fenômeno considerado é observar o sexo de uma criança ao nascer: \(\Omega=\{F, M\}\)
2. Se o experimento consiste em observar os resultados ao lançar uma moeda duas vezes:

\[\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4}\}\]

\(\omega_{1}=(C,C)\); \(\omega_{2}=(C,X)\); \(\omega_{3}=(X,C)\); \(\omega_{4}=(X,X)\)

\(C=cara \quad \mbox{e} \quad X=coroa\)

Evento é um subconjunto do espaço amostral. Denotamos eventos pelas letras \(A\), \(B\), \(C\), etc…

Dizemos que o evento \(A\) ocorreu sempre que o resultado observado pertencer ao subconjunto de elementos do evento \(A\).

• Experimento é lançar dois dados (1 vermelho e 1 verde) e anotar os valores: \[\Omega = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \\ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2, 5), (2, 6), \\ (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\ (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), \\ (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), \\ (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \]

Evento: soma dos valores é igual a 3.

\[A=\{ (1,2),(2,1)\}\]

\[\Omega=\{CCC,CCI,CIC,CII,ICC,ICI,IIC,III\}\]

Evento: o aluno acertou pelo menos duas questões e foi aprovado.

\[A=\{CCC,CCI,CIC,ICC\}\]

Cada elemento do espaço amostral tem uma probabilidade de ocorrer.

Portanto, cada evento (subconjunto do espaço amostral) também tem uma probabilidade.

Duas regras:

• A probabilidade de cada elemento do espaço amostral deve estar entre 0 e 1.

• A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral deve ser igual a 1.

\(C=cara\)

\(X=coroa\)

\(\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4}\}\)

\(\omega_{1}=(C,C)\); \(\omega_{2}=(C,X)\); \(\omega_{3}=(X,C)\); \(\omega_{4}=(X,X)\).

• considerando que a moeda é honesta: \[P(\omega_{i})=\frac{1}{4}\,,\quad\forall i=1,2,3,4\,.\]

• seja o evento \(A=\{\omega_{1},\omega_{4}\}=\) obter duas faces iguais:

\(P(A)=P(\{\omega_{1},\omega_{4}\})=P(\omega_{1})+P(\omega_{4})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\Omega=\{\omega_{1},...,\omega_{n}\}\) finito.

\(P(\omega_{i})=\frac{1}{n}\), \(\forall\) \(i=1,2,...,n\).

\(A=\{\omega_{A_1},...,\omega_{A_m}\}\) evento em \(\Omega\) com \(m\leq n\) pontos amostrais

então \(P(A)=\frac{m}{n}\).

A probabilidade de um evento \(A\), denotada por \(P(A)\), é obtida somando as probabilidades de cada elemento do espaço amostral que pertence ao evento \(A\).

Quando cada elemento do espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer: \[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos no evento $A$}}{\mbox{número de elementos do espaço amostral}}\]

Exemplo 1: moeda honesta é lançada uma vez \(\Omega= \{C,X\}\)

\(P(C)=P(X)=\frac{1}{2}\)

\(A=\{C\} \qquad \rightarrow \qquad P(A)=\frac{1}{2}\)

Exemplo 2: moeda honesta é lançada duas vezes

\(\Omega=\{(C,C), (X,C), (C,X), (X,X)\}\)

\(P(C,C)=P(X,C)=P(C,X)=P(X,X)=\frac{1}{4}\)

\(A=\{(X,X), (C,C)\} \qquad \rightarrow \qquad P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4},\omega_{5},\omega_{6}\}\)

em que \(\omega_{i}=\) face \(i\), \(\forall\) \(i=1,2,3,4,5,6\,.\)

Como o dado é honesto, \(P(\omega_{i})=\frac{1}{6}\,.\)

Seja o evento \(A=\{\mbox{a face é um número par}\}=\{\omega_{2},\omega_{4},\omega_{6}\}=\{2,4,6\}\)

\[P(A)=P(\{2\},\{4\},\{6\})=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

A união de \(A\) e \(B\) consiste de elementos do espaço amostral que pertencem ao evento \(A\) ou ao evento \(B\).

Denotamos \(A\cup B\):

ou

Na figura da direita, \(A\) e \(B\) são denominados disjuntos, pois \(A\cap B=\varnothing\).

Um estabelecimento aceita Visa ou Mastercard. Dentre os clientes, 22% possuem Mastercard, 58% possuem Visa e 14% possuem os dois. Qual a probabilidade de que um cliente tenha pelo menos um destes cartões?

Um estabelecimento aceita Visa ou Mastercard. Dentre os clientes, 22% possuem Mastercard, 58% possuem Visa e 14% possuem os dois. Qual a probabilidade de que um cliente tenha pelo menos um destes cartões?

Espaço amostral: \(\Omega=\{V,M,VM,N\}\), onde V="tem só Visa", M="tem só Matercard", VM="tem Visa e Mastercard", N="não tem Visa nem Mastercard".

Evento A: cliente possui Mastercard. \(A=\{M,VM\}\).

Evento B: cliente possui Visa. \(B=\{V,VM\}\).

\(P(A)=0.22\)

\(P(B)=0.58\).

\(P(A\cap B)=0.14\).

\(A\cup B\): cliente possui pelo menos um dos cartões. \(A\cup B=\{ V,M,VM\}\).

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.22+0.58-0.14=0.66\).

Evento C: cliente não possui nenhum dos cartões. \(C=\{ N\}\).

\(C\) é complementar de \(A\cup B\), pois: \(C\cup (A\cup B)=\Omega\) e \(C\cap (A\cup B)=\varnothing\).

Então \(P(C)=1-P(A\cup B)=0.34\).

\[\Omega=\{(C,S),(C,\bar{S}),(\bar{C},S),(\bar{C},\bar{S}) \} \]

Se selecionarmos um registro ao acaso, qual a probabilidade dele conter uma morte registrada?

\(P(M)=\frac{2111}{577006}=0.004\)

\[\Omega=\{(C,S),(C,\bar{S}),(\bar{C},S),(\bar{C},\bar{S}) \} \]

Se selecionarmos um registro ao acaso, qual a probabilidade de constar que o cinto não foi usado?

\(P(\bar{C})=\frac{164128}{577006}=0.284\)