O formato da distribuição influencia se a média será maior ou menor do que a mediana.
Um valor extremamente grande na cauda direita, puxa a média para a direita. Em geral, se o formato é:
Considere dois conjuntos de dados:
\(A = \{10,20,30\}\), \(\overline{x}_A = 20\), \(s_A= 10\).
\(B = \{10000,10010,10020\}\), \(\overline{x}_B = 10010\), \(s_B= 10\).
Ambos têm o mesmo desvio padrão.
Se compararmos as escalas de cada conjunto de dados, poderíamos dizer que o segundo conjunto tem menor dispersão.
Por exemplo, a maior observação do conjunto \(B\), 10020, é 0,2% maior do que a menor observação, 10000.
A maior observação do conjunto \(A\), 30, é 3 vezes maior do que a menor observação, 10.
Considere notas de 2 provas:
Neste caso, como as escalas são diferentes, não podemos tirar conclusões usando apenas o desvio padrão.
\[\mbox{Coeficiente de Variação (CV)}= \frac{s}{\bar{x}}\]
Exemplo: \(A = \{10,20,30\}\), \(\overline{x}_A = 20\), \(s_A= 10\).
\(B = \{10000,10010,10020\}\), \(\overline{x}_B = 10010\), \(s_B= 10\).
\(CV_A = \frac{s_A}{\overline{x}_A} = 0.5\) e \(CV_B = \frac{s_B}{\overline{x}_B} \approx 0,0009\).
Exemplo: Prova 1: 0 a 100. Média da turma: 70. Desvio padrão 1.
Prova 2: 0 a 10. Média da turma: 7. Desvio padrão 1.
\(CV_1 = \frac{s_1}{\overline{x}_1} = 0,014\) e \(CV_2 = \frac{s_2}{\overline{x}_2} \approx 0,14\).
Média e mediana: medidas de posição central.
Amplitude e desvio padrão: medidas de dispersão.
Há outros tipos de medida de posição para descrever a distribuição dos dados: quartis e percentis.
Quartis dividem os dados em 4 partes iguais: primeiro quartil (\(Q_1\)), segundo quartil (\(Q_2\)) e o terceiro quartil (\(Q_3\)).
O p-ésimo percentil é o valor tal que uma porcentagem p dos dados ficam abaixo dele.
Para obter os quartis:
0, 70, 125, 125, 140, 150, 170, 170, 180, 200
200, 210, 210, 220, 220, 230, 250, 260, 290, 290
Para calcular \(Q1\): calcula-se a mediana considerando apenas as 10 primeiras observações ordenadas: 0, 70, 125, 125, \(\underbrace{140, 150}_{Q_1=145}\), 170, 170, 180, 200
Para calcular \(Q3\): calcula-se a mediana considerando apenas as 10 últimas observações ordenadas: 200, 210, 210, 220, \(\underbrace{220, 230}_{Q_3=225}\), 250, 260, 290, 290
Os quartis também fornecem informação sobre o formato da distribuição. 
A distância entre \(Q_1\) e \(Q_2\) é 3, enquanto que a distância entre \(Q_2\) e \(Q_3\) é 4, indicando que a distribuição é assimétrica à direita.
A vantagem do uso de quartis sobre o desvio padrão ou a amplitude, é que os quartis são mais resistentes a dados extremos.
Intervalo interquartílico (IQ) = \(Q_3-Q_1\).
Representa 50% dos dados localizados na parte central da distribuição.
Notação: \(x_{(1)}\) = mínimo, \(x_{(n)}\) = máximo, onde \(x_{(k)}\) é a \(k\)-ésima observação depois de ordenar os dados.
\[ Q_2= \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \,,& \mbox{se $n$ é ímpar} \\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}\,, & \mbox{se $n$ é par} \end{cases} \]
Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica:
Importante: examinar os dados para verificar se há observações discrepantes.
Uma observação é um potencial outlier se está abaixo de \(Q_1-1,5\times IQ\) ou se está acima de \(Q_3+1,5 \times IQ\).
Dizemos potencial outlier, pois se a distribuição tem cauda longa (à direita ou à esquerda), algumas observações irão cair no critério, apesar de não serem outliers.
O esquema dos 5 números forma a base do grafico denominado boxplot.
Primeiro passo: construir uma caixa que vai do primeiro ao terceiro quartil.
Segundo passo: construir uma linha no meio da caixa, na altura da mediana (\(Q_2\)).
Terceiro passo: definir os limites para que uma observação seja considerada outlier.
Quarto passo: desenhar uma linha que saia da parte inferior da caixa e desça até o menor valor dos dados, mas que não ultrapasse os limites do critério de outliers. Desenhar uma linha que saia da parte superior da caixa e suba até o maior valor dos dados, mas que não ultrapasse os limites do critério de outliers. Outliers, quando existem, aparecem indicados separadamente no gráfico.
27 estados, \(n\) é ímpar, mediana é \(x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}= x_{\frac{27+1}{2}}=x_{14}=3098\) (ES).
A metade inferior dos dados: 13 observações. A mediana deste subconjunto é \(Q_1=x_7= 2052\)(DF).
A metade superior dos dados: 13 observações. A mediana deste subconjunto é \(Q_3=x_{21}=7919\)(PE).
\(IQ=Q_3-Q_1=7919-2052=5867\)
\(Q_1-1,5\times IQ=-6748,5\)
\(Q_3+1,5\times IQ=16720\)
Temos outliers?
0, 70, 125, 125, \(\underbrace{140, 150}_{Q_1=145}\), 170, 170, 180, 200
200, 210, 210, 220, \(\underbrace{220, 230}_{Q_3=225}\), 250, 260, 290, 290
\[IQ=Q_3-Q_1=225-145=80\]
\[Q_1-1,5\times IQ=145-1,5\times 80=25\]
\[Q_3+1,5\times IQ=145+1,5\times 80=345\]
Outlier: observação menor do que 25 ou maior do que 345.
As linhas pontilhadas denotam o mínimo/máximo dos dados que estão na região entre \(Q_1-1,5\times IQ\) e \(Q_3+1,5\times IQ\).
A observação máxima dos dados, 290, está no intervalo, então a linha do lado direito vai até 290.
A observação mínima dos dados, 0, está fora do intervalo (outlier=0).
Desconsiderando o outlier, o valor mínimo dos dados é 70, que está no intervalo. Portanto, a linha do lado direito vai até 70.
Boxplot não substitui o histograma e vice-versa.
Por exemplo, se a distribuição é bimodal, não observamos isso pelo boxplot.
\(\bar{x}=133\), \(Q_1=119\), mediana=131,5, \(Q_3=144\).
Como interpretar os quartis?
Você acredita que a distribuição seja simétrica?
\[ Q_2-Q_1\approx Q_3-Q_2\quad(?)\]
\[\underbrace{Q_2-Q_1}_{131,5-119=12,5}=\underbrace{Q_3-Q_2}_{144-131,5=12,5} \]
## Taxa Pais ## 1 8.3 Bélgica ## 2 6.0 Dinamarca ## 3 9.2 Alemanha ## 4 9.3 Grécia ## 5 11.2 Espanha ## 6 9.5 França ## 7 6.7 Portugal ## 8 4.4 Holanda ## 9 3.9 Luxemburgo ## 10 4.6 Irlanda ## 11 8.5 Itália ## 12 8.9 Finlândia ## 13 4.5 Áustria ## 14 6.0 Suécia ## 15 4.8 Reino Unido
Qual a amplitude? \(Q_1\), \(Q_3\), mediana?
Desenhe um boxplot.
Ordenando os dados:
3,9 4,4 4,5 4,6 4,8 6,0 6,0 6,7 8,3 8,5 8,9 9,2 9,3 9,5 11,2
Qual a amplitude?
\(11,2-3,9=7,3\)
\(Q_1=4,6\), \(Q_3=9,2\), mediana=6,7.
\(IQ=Q_3-Q_1=4,6\)
\(Q_1-1,5\times IQ=-2,3\)
\(Q_3+1,5\times IQ=16,1\)
O mínimo e o máximo pertencem ao intervalo \((-2,3;16,1)\), portanto as linhas pontilhadas terminam no máximo (11,2) e no mínimo (3,9).
Slides produzidos pelos professores:
Samara Kiihl
Tatiana Benaglia
Benilton Carvalho
